Родился 15 июля 1919 года на станции Алмазная, ныне город Луганской области Украины, в семье рабочего. Русский. Окончил 8 классов. Работал слесарем на Всесоюзной сельскохозяйственной выставке в Москве. В Красной Армии с 1939 года. Окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков (1940). На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941. Член ВКП(б) с 1942 года.
15 декабря 1942 года был представлен к присвоению звания Герой Советского Союза, но награжден орденом Красного Знамени.
Командир эскадрильи 127-го истребительного авиационного полка капитан Александр Савченко к июлю 1943 года совершил 424 боевых вылета, в 64 воздушных боях лично сбил 11 и в группе 15 самолётов противника. Всего за годы войны произвёл боевых вылетов 493, воздушных боёв 80.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года за мужество и героизм, проявленные в воздушных боях, Савченко Александру Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны служил в ВВС СССР. В 1949 году окончил Высшие лётно-тактические КУОС. Командовал 741-м гвардейским истребительным авиационным полком. С 1954 года подполковник Савченко в запасе.
Жил в городе Ростов-на-Дону, работал инженером в тресте «Стройконструкция».
Умер 8 апреля 1988 года. Был похоронен в Ростове-на-Дону.